Die Äquivalenz von Masse und Energie


Herleitung - Formel

Herleitung

Ausgehend von der Massenzunahme bei hohen Geschwindigkeiten müssen wir die Newton'schen Bewegungsgleichungen anders formulieren. Wir betrachten hier, daß die Kraft die Ableitung des Impulses nach der Zeit ist:

F gleich d(mv) nach dt

Wir lösen die Gleichung unter Verwendung der Produktregel für Ableitungen auf, und erweitern das erste Glied mit dv, um ausklammern zu können:

Auflösen

Da der Quotient dm/dv ungleich null ist, muß die Beschleunigung a = dv/dt bei konstanter Kraft nicht konstant bleiben.
Wir gehen davon aus, daß die Beschleunigungsarbeit als kinetische Energie erhalten bleibt:

Formel
Wir setzen für F den obigen erhaltenen Term ein und ersetzen ds durch v × dt, wodurch wir kürzen können:
Formel
Wir setzen nun in v und m ein und leiten ab:
Formel
Nun fassen wir zusammen und bringen die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:
Formel
Wir fassen nun weiter zusammen, multiplizieren aus und ermitteln die Stammfunktion:
Formel
Nun müssen wir noch einsetzen und erhalten das Ergebnis:
Formel
Für den Minuenden können wir auch m×c² schreiben. Wir formen das Ergebnis noch etwas um und erhalten dann:

Formel

m × c² = Ekin + m0 × c²
Gesamtenergie = kinetische Energie + Ruheenergie

Da sich diese Überlegung von Einstein auch auf andere Bereiche übertragen lässt (z.B. Compton-Effekt) können wir ganz allgemein sagen:

Jeder Energieform ist eine Masse zugeordnet: E = m × c²