Der Dopplereffekt

Herleitung - Relativgeschwindigkeit - Dopplerfaktor - Zusammenfassung

Wenn wir die Beobachtungen der Gleichzeitigkeit von Ereignissen nun übertragen, können wir folgendes sagen: Sendet ein Beobachter A regelmäßig Signale aus, so stellt ein sich relativ zu A bewegender Beobachter B andere Zeitabstände zwischen den Signalen fest, als A.

Diese Änderung der Zeitabstände, die man auch als Frequenzänderung bezeichnen kann, kennen wir bereits bei der Beobachtung von Schallsignalen.
Es handelt sich hierbei um den sogenannten Dopplereffekt. In der Akustik wurde auch der Faktor, um den sich die Frequenz ändert bestimmt, den man Dopplerfaktor genannt hat:

Dopplerfaktor k=Empfangsintervall(frequenz) / Sendeintervall(frequenz)

Für Lichtsignale lautet er k = Wurzel aus (c+v)/(c-v)

Herleitung
Skizze zur Herleitung

A und B sind nach dem allgemeinen Relativitätsprinzip gleichwertige Beobachter. Wir betrachten die Reflexionen der Signale als Ereignisse P, Q, X und Y.

Um nun einen Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit v, mit der sich A und B von einander entfernen, und dem Dopplerfaktor k zu erhalten, betrachten wir nur einen der beiden Beobachter (in unserem Fall B), aus dessen Informationen (τ und k² × τ) wir k bestimmen wollen:

Entfernung der Ereignisse X und Y von B:

[BX] = ½ × c × (t3' - t1')
[BY] = ½ × c × (t4' - t2')
Daraus folgt für die von A zurückgelegte Strecke [XY]:
[XY] = [BY] - [BX]
 Wir setzen ein:
= ½ × c × [(t4'-t2') - (t3'-t1')]
 Und formen um:
= ½ × c × [(t4'-t3') - (t2'-t1')]
 Da aber t4'-t3' = k² × τ und t2'-t1 = τ folgt:
= ½ × c × [k² × τ - τ]

Für die Reflexionszeitpunkte tB(X) und tB(Y) gilt:

tB(X) = ½ × (t1' + t3')
tB(Y) = ½ × (t2' + t4')
Für die Strecke [XY] benötigt B die Zeit:
tXY = tB(Y) - tB(X)
Wir setzen ein:
tXY = ½ × [(t2' + t4') - (t1' + t3')]
tXY = ½ × [(t2' - t1') + (t4' - t3')]
 Wir ersetzen wie oben:
tXY = ½ × [τ + k² × τ

Relativgeschwindigkeit

Aus den Formeln für den Weg und die Zeit folgt für die Relativgeschwindigkeit v:

v=[XY]/t<sub>XY</sub>
Die obigen Formeln werden eingesetzt:
Weg und Zeit eingesetzt
Wir klammern τ aus, und kürzen:
gekürzter Term

Dopplerfaktor

Nun lösen wir nach k auf, indem wir mit k² + 1 multiplizieren:

v × k² + v = c × k² - c
Wir bringen alle Glieder mit k auf eine Seite der Gleichung, alle anderen auf die andere Seite der Gleichung und erhalten:
k² × c - k² × v = v + c
Wir klammern k² aus und teilen durch c - v:
k² = (c+v)/(c-v)
und ziehen dann noch die Wurzel:
quadratfreier Term

Analog lässt sich diese Herleitung auch für A durchführen!

Zusammenfassung
Dopplerfaktor Relativgeschwindigkeit
Dopplerfaktor
Relativgeschwindigkeit

Entfernen sich die beiden Systeme, so ist v positiv und deswegen k > 1.
Nähern sich die beiden Systeme, so ist v negativ und deswegen k < 1.