Die Zeitdilatation


Aus dem Dopplerfaktor folgen viele weitere interessante und wichtige Phänomene:

Wir wollen ein Ereignis betrachten, daß von zwei Inertialbeobachtern gesehen wird:

Skizze zur Zeitdilatation

Der Beobachter A sendet ständig Signale aus. Das Signal t1 wird von B beantwortet, da zum Zeitpunkt tB(X) das Ereignis X stattfindet. A fängt das Signal zum Zeitpunkt t2 = k × tB(X) auf. Der von ihm ermittelte Ereigniszeitpunkt tA(X) stimmt jedoch nicht mit dem von B ermittelten Zeitpunkt überein:

tA(X) = x × tB(X)
Für tA(X) ermittelt A:
tA(X) = ½ × (t1 + t2)
Wir ersetzen t1 und t2 durch tB(X):
tA(X) = ½ × (1/k × tB(X) + k × tB(X))
Wir klammern tB(X) aus und lösen nach tB(X) auf:
tB(X) = [2 × k / (1 + k²)] × tA(X)

Wir setzen den Dopplerfaktor k in den Term 2× k / (1 + k²) ein und lösen auf:

2k / (1+k²) =
Wir bringen den Nennerbruch auf einen gemeinsamen Nenner und kürzen die zwei.
Formel
Wir schreiben den Bruch unter ein Wurzelzeichen, kürzen und multiplizieren aus:
Formel
Wir teilen nun noch durch c² und erhalten einen Faktor, der uns später noch öfters begegnet:
Wurzel aus 1-v²/c²

Wir setzen oben ein:

Formel für Zeitdilatation

Der Unterschied zwischen A und B liegt im Meßverfahren:

Daraus folgern wir:

Bewegte Uhren gehen langsamer