Addition von Geschwindigkeiten

Herleitung - Formel für die Geschwindigkeitsaddition

Im Gegensatz zur klassischen Dynamik gilt die Formel v₁₃ = v₁₂ + v₂₃ nicht für hohe Geschwindigkeiten!

Herleitung

Die korrekte Formel für die Geschwindigkeitsaddition soll hier hergeleitet werden:

Wir betrachten drei Inertialbeobachter 1, 2 und 3, die sich jeweils mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen. Zwei im Zeitraum T von 1 gesendete Signale werden aufgrund des Dopplereffektes in anderen Zeiträmen empfangen. Der Skizze können wir entnehmen, daß k₃₁ = k₃₂ × k₂₁ ist.
Wir setzen nun k ein:

Wir quadrieren nun den Term und multiplizieren kreuzweise aus:

(c + v₁₃) × (c - v₂₃) × (c - v₁₂) = (c + v₂₃) × (c - v₁₃) × (c + v₁₂)
Wir multiplizieren nun rechts die Klammer (c + v₁₃) aus, links tun wir dasselbe mit der Klammer (c - v₁₃):
c × (c - v₂₃) × (c - v₁₂) + v₁₃ × (c - v₂₃) × (c - v₁₂) = c × (c + v₂₃) × (c + v₁₂) - v₁₃ × (c + v₂₃) × (c + v₁₂)
Nun bringen wir die Glieder mit c auf eine Seite, die mit v₁₃ auf die andere Seite der Gleichung:
v₁₃ × [(c - v₂₃) × (c - v₁₂) + (c + v₂₃) × (c + v₁₂)] = c × [(c + v₂₃) × (c + v₁₂) - (c - v₂₃) × (c - v₁₂)]
Wir mulitplizieren aus und fassen dann zusammen:
v₁₃ × [c² - c×v₁₂ - c×v₂₃ + v₁₂×v₂₃ + c² + c×v₁₂ + c×v₂₃ + v₁₂×v₂₃] = c × [c² + c×v₁₂ + c×v₂₃ + v₁₂×v₂₃ - c² + c×v₁₂ + c×v₂₃ - v₁₂×v₂₃]
v₁₃ × [2×c² + 2×v₁₂×v₂₃] = c × [2×c×v₁₂ + 2×c×v₂₃] Nun klammern wir 2 bzw. 2×c aus und lösen dann nach v₁₃ auf:
2×v₁₃ × [c² + v₁₂×v₂₃] = 2×c² [v₁₂ + v₂₃]

Formel für die Geschwindigkeitsaddition

Wir erweitern den Bruch noch mit 1/c² und erhalten als Endergebnis für unsere Formel zur relativistischen Geschwindigkeitsaddition:

Da sich in unserem Fall keines der Systeme schneller als c bewegt, muß die Gesamtgeschwindigkeit ebenfalls kleiner als c sein, was die Formel auch sicherstellt. Das ein Körper keine Geschwindigkeit erreichen kann, die c übersteigt, ist eine der Grundvorraussetzungen der speziellen Relativitätstheorie!